Question

4．已知焦點(diǎn)為F的拋物線C：y²=2px（p＞0））上有一點(diǎn)M（m，2$\sqrt{2}$），以M為圓心、|MF|為半徑的圓被y軸截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{5}$．
（1）求|MF|；
（2）若傾斜角為$\frac{π}{4}$且經(jīng)過點(diǎn)（2，0）的直線l與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)，求證：OA⊥OB．

Answer 1

分析 （1）利用以M為圓心、|MF|為半徑的圓被y軸截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{5}$，結(jié)合M在拋物線上，求出m，p，即可求|MF|；
（2）直線l的方程為y=x-2，聯(lián)立y²=2x得x²-6x+4=0，證明$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0即可．

解答 解：（1）∵圓M被y軸截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{{m}^{2}+5}$=m+$\frac{p}{2}$①，…（2分）
又點(diǎn)M在拋物線上，∴8=2pm②，…（3分）
由①②得p=2，m=2，…（4分）
|MF|=m+$\frac{p}{2}$=3．…（5分）
（2）直線l的方程為y=x-2，聯(lián)立y²=2x得x²-6x+4=0．…（7分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=6，x₁x₂=4．…（10分）
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0．…（11分）
∴OA⊥OB．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．