Question

【題目】已知函數(shù).

（1）證明：當(dāng)時(shí)，；

（2）若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求正實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）把轉(zhuǎn)化成，令，由題意得，即證明恒成立，通過導(dǎo)數(shù)求證即可

（2）直接求導(dǎo)可得，，令，得或，故根據(jù)0與的大小關(guān)系來進(jìn)行分類討論即可

證明：（1）令，則.

分析知，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.

所以當(dāng)時(shí)，.

所以，即，

所以.

所以當(dāng)時(shí)，.

解：（2）因?yàn)?/span>，所以.

討論：

①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

又，

故此時(shí)函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)為0；

②當(dāng)時(shí)，令，得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.

又極大值，所以極小值.

當(dāng)時(shí)，有.

又，此時(shí)，

故當(dāng)時(shí)，函數(shù)還有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；

③當(dāng)時(shí)，令得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.

又極小值，所以極大值.

若，則，得，

所以

，

所以當(dāng)且時(shí)，，故此時(shí)函數(shù)還有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.

綜上，所求實(shí)數(shù)的值為.