Question

11．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為a_n=$\left\{{\begin{array}{l}{n+\frac{15}{n}，n≤5}\\{alnn-\frac{1}{4}，n＞5}\end{array}}$，若{a_n}的最小值為$\frac{31}{4}$，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{8}{ln6}$，+∞）．

Answer 1

分析 利用基本不等式可知a_n≥a₄=$\frac{31}{4}$（n≤5），進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)n＞5時(shí)a≥$\frac{8}{lnn}$恒成立，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：由題可知當(dāng)n≤5時(shí)結(jié)合函數(shù)y=x+$\frac{15}{x}$（x＞0），可知a_n≥a₄=4+$\frac{15}{4}$=$\frac{31}{4}$，
又因?yàn)閧a_n}的最小值為$\frac{31}{4}$，
所以當(dāng)n＞5時(shí)y=alnn-$\frac{1}{4}$≥$\frac{31}{4}$，即alnn≥8，
又因?yàn)閘nn＞ln5＞0，
所以當(dāng)n＞5時(shí)a≥$\frac{8}{lnn}$恒成立，
所以$a≥\frac{8}{ln6}$，
故答案為：[$\frac{8}{ln6}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推式，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分離參數(shù)，考查基本不等式，注意解題方法的積累，屬于中檔題．