Question

16．設(shè)i為虛數(shù)單位，n為正整數(shù)，θ∈[0，2π）．
（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：（cosθ+isinθ）ⁿ=cosnθ+isinnθ；
（2）已知$z=\sqrt{3}-i$，試?yán)�用�?）的結(jié)論計(jì)算z¹⁰．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明，注意和差公式的應(yīng)用．
（2）利用（1）的結(jié)論即可得出．

解答 證明：（1）證明：1°當(dāng)n=1時(shí)，左邊=右邊=cosθ+isinθ，所以命題成立；
2°假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即（cosθ+isinθ）^k=coskθ+isinkθ，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，（cosx+isinθ）^k+1=（cosθ+isinθ）^k•（cosθ+isinθ）
=（coskθ+isinkθ）（cosθ+isinθ）
=（coskθcosθ-sinkθsinθ）+i（sinkθcosθ+coskθsinθ）
=cos（k+1）θ+isin（k+1）θ
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立；
綜上，由1°和2°可得，（cosθ+isinθ）ⁿ=cosnθ+isinnθ．
（2）$z=\sqrt{3}-i$=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}i$）=2（cos$\frac{11π}{6}$+isin$\frac{11π}{6}$），
∴z¹⁰=2¹⁰（cos$\frac{110}{6}$π+isin$\frac{110}{6}$π）=2¹⁰（cos$\frac{π}{3}$+isin$\frac{π}{3}$）=2¹⁰（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）=512+512$\sqrt{3}$i

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法、復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式、和差公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．