如圖所示，P是拋物線C：y=x2上一點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)P并與拋物線C在點(diǎn)P的切線垂直，l與拋物線C相交于另一點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線C上移動(dòng)時(shí)，求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程，并求點(diǎn)M到x軸的最短距離.

點(diǎn)M到x軸的最短距離是+1


解析:

  設(shè)P（x0，y0），則y0=x,

∴過(guò)點(diǎn)P的切線斜率k=x0,

當(dāng)x0=0時(shí)不合題意，∴x0≠0.

∴直線l的斜率kl=-=-,

∴直線l的方程為y-x=-(x-x0).

此式與y=x2聯(lián)立消去y得

x2+x- x-2=0.

設(shè)Q（x1,y1）,M(x,y).∵M(jìn)是PQ的中點(diǎn)，

∴,

消去x0，得y=x2++1(x≠0)就是所求的軌跡方程.由x≠0知x2＞0,

∴y=x2++1≥2+1=+1.

上式等號(hào)僅當(dāng)x2=,即x=±時(shí)成立，

所以點(diǎn)M到x軸的最短距離是+1.

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(1)求圓C2的圓心M到拋物線C1準(zhǔn)線的距離;

(2)是否存在點(diǎn)P,使線段AB被拋物線C1在點(diǎn)P處的切線平分?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

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(1)當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2時(shí)，求直線的方程；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在拋物線C上移動(dòng)時(shí)，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程，并求點(diǎn)M到軸的最短距離．

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