Question

如圖，已知y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²-2x
（1）求f（1），f（-2）的值；
（2）求f（x）的解析式并畫出簡(jiǎn)圖；
（3）討論方程f（x）=k的根的情況．（只需寫出結(jié)果，不要解答過(guò)程）．

Answer 1

解：（1）∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²-2x
∴f（1）=1²-2=-1
f（2）=2²-2×2=0
又∵y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)
∴f（-2）=f（2）=0 …..（3分）
（2）當(dāng)x≤0時(shí)，-x≥0
于是f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x
又∵y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)
∴f（x）=x²+2x（x≤0）
∴f（x）= …..（7分）
其圖象如下圖所示：

（3）由（2）中函數(shù)f（x）的圖象可得：
當(dāng)k＜-1時(shí)，方程無(wú)實(shí)根
當(dāng)k=-1，或k＞0時(shí)，有2個(gè)根；
當(dāng)k=0時(shí)，有3個(gè)根；
當(dāng)-1＜k＜0時(shí)，有4個(gè)根； …..（14分）
分析：（1）由x≥0時(shí)，f（x）=x²-2x，可求出f（1），f（2）的值，進(jìn)而根據(jù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，f（-2）=f（2）得到答案；
（2）根據(jù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²-2x，先求出函數(shù)的y=f（x）的解析式（分段函數(shù)的形式），進(jìn)而根據(jù)分段函數(shù)的圖象分段畫的原則，結(jié)合二次函數(shù)的圖象可得答案．
（3）根據(jù)（2）中函數(shù)的圖象，即可分析出k取不同值時(shí)，方程f（x）=k的根的情況．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)及函數(shù)的值，其中根據(jù)已知條件結(jié)合函數(shù)的奇偶性的定義，求出函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．