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4.如圖,在棱臺(tái)ABC-FED中,△DEF與△ABC分別是棱長(zhǎng)為1與2的正三角形,平面ABC⊥平面BCDE,四邊形BCDE為直角梯形,BC⊥CD,CD=1,N為AB中點(diǎn),AM=λAFλRλ0
(Ⅰ)設(shè)ND中點(diǎn)為Q,λ=12,求證:MQ∥平面ABC;
(Ⅱ)若M到平面BCD的距離為334,求直線MC與平面BCD所成角的正弦值.

分析 (Ⅰ)延長(zhǎng)三棱臺(tái)的三條側(cè)棱,設(shè)交點(diǎn)為S,當(dāng)λ=12時(shí)M為FA的中點(diǎn),設(shè)CD中點(diǎn)為R,連MR,MQ,RQ,由中位線定理可證MR∥平面ABC,QR∥平面ABC,再由面面平行的判定可得平面MQR∥平面ABC,從而得到MQ∥平面ABC;
(Ⅱ)設(shè)AB中點(diǎn)為H,連SH,AH,在△SAH中,作MO∥AH且交SH于點(diǎn)O,由平面ABC⊥平面BCDE,可得AH⊥平面SBC,進(jìn)一步得到MO⊥平面SBC(D),求出M到平面SBC的距離MO.可得∠MCO為直線MC與平面BCD所成角.然后求解三角形得答案.

解答 (Ⅰ)證明:延長(zhǎng)三棱臺(tái)的三條側(cè)棱,設(shè)交點(diǎn)為S,當(dāng)λ=12時(shí)M為FA的中點(diǎn),
設(shè)CD中點(diǎn)為R,連MR,MQ,RQ,
在梯形ACDF中,中位線MR∥AC,又MR?平面ABC,AC?平面ABC,
∴MR∥平面ABC;
在△CDN中,中位線QR∥CN,又QR?平面ABC,CN?平面ABC,
∴QR∥平面ABC,
又MR∩QR=R且MR?平面MQR,QR?平面MQR,
∴平面MQR∥平面ABC,
又MQ?平面MQR
∴MQ∥平面ABC;
(Ⅱ)解:設(shè)AB中點(diǎn)為H,連SH,AH,在△SAH中,作MO∥AH且交SH于點(diǎn)O,
∵平面ABC⊥平面BCDE,平面ABC∩平面BCDE=BC,
AH?平面ABC,AH⊥BC,∴AH⊥平面SBC,
又MO∥AH,∴MO⊥平面SBC(D),
∴MO為M到平面SBC的距離,MO=334
且∠MCO為直線MC與平面BCD所成角.
∵平面ABC⊥平面BCDE,平面ABC∩平面BCDE=BC,
CD?平面BCDE,CD⊥BC,∴CD⊥平面ABC,
又AC?平面ABC,∴CD⊥AC,
在Rt△SAC中,DF∥AC,DF=1,AC=2,CD=1,
MOAH=3343=34,得SMSA=34,即M為FA的中點(diǎn).
∴CF⊥SA,又CF=2,F(xiàn)M=22,∴CM=102
在Rt△MCO中,sin∠MCO=MOMC=33020
故直線MC與平面BCD所成角的正弦值為33020

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定,考查線面角的求法,考查空間想象能力與思維能力,是中檔題.

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