分析 (Ⅰ)延長三棱臺的三條側(cè)棱,設(shè)交點為S,當(dāng)λ=12時M為FA的中點,設(shè)CD中點為R,連MR,MQ,RQ,由中位線定理可證MR∥平面ABC,QR∥平面ABC,再由面面平行的判定可得平面MQR∥平面ABC,從而得到MQ∥平面ABC;
(Ⅱ)設(shè)AB中點為H,連SH,AH,在△SAH中,作MO∥AH且交SH于點O,由平面ABC⊥平面BCDE,可得AH⊥平面SBC,進(jìn)一步得到MO⊥平面SBC(D),求出M到平面SBC的距離MO.可得∠MCO為直線MC與平面BCD所成角.然后求解三角形得答案.
解答 (Ⅰ)證明:延長三棱臺的三條側(cè)棱,設(shè)交點為S,當(dāng)λ=12時M為FA的中點,
設(shè)CD中點為R,連MR,MQ,RQ,
在梯形ACDF中,中位線MR∥AC,又MR?平面ABC,AC?平面ABC,
∴MR∥平面ABC;
在△CDN中,中位線QR∥CN,又QR?平面ABC,CN?平面ABC,
∴QR∥平面ABC,
又MR∩QR=R且MR?平面MQR,QR?平面MQR,
∴平面MQR∥平面ABC,
又MQ?平面MQR
∴MQ∥平面ABC;
(Ⅱ)解:設(shè)AB中點為H,連SH,AH,在△SAH中,作MO∥AH且交SH于點O,
∵平面ABC⊥平面BCDE,平面ABC∩平面BCDE=BC,
AH?平面ABC,AH⊥BC,∴AH⊥平面SBC,
又MO∥AH,∴MO⊥平面SBC(D),
∴MO為M到平面SBC的距離,MO=3√34.
且∠MCO為直線MC與平面BCD所成角.
∵平面ABC⊥平面BCDE,平面ABC∩平面BCDE=BC,
CD?平面BCDE,CD⊥BC,∴CD⊥平面ABC,
又AC?平面ABC,∴CD⊥AC,
在Rt△SAC中,DF∥AC,DF=1,AC=2,CD=1,
由MOAH=3√34√3=34,得SMSA=34,即M為FA的中點.
∴CF⊥SA,又CF=√2,F(xiàn)M=√22,∴CM=√102.
在Rt△MCO中,sin∠MCO=MOMC=3√3020.
故直線MC與平面BCD所成角的正弦值為3√3020.
點評 本題考查直線與平面平行的判定,考查線面角的求法,考查空間想象能力與思維能力,是中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | m+n=0 | B. | m-n=0 | C. | mn+1=0 | D. | mn-1=0 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | π | B. | π2 | C. | π3 | D. | π4 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (2,+∞) | B. | (1,+∞) | C. | (12,+∞) | D. | (14,+∞) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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A. | 2-i | B. | 2+i | C. | 4-i | D. | 4+i |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 1 | B. | √2 | C. | √3 | D. | 2√2 |
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