14.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=$\frac{1}{5}$,且對于任意正整數(shù)m,n都有an+m=an•am.若Sn<a對任意n∈N*恒成立,則實數(shù)a的最小值是$\frac{1}{4}$.

分析 由am+n=am•an,令m等于1化簡后,由等比數(shù)列的定義確定此數(shù)列是等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的前n項和的公式表示出Sn,利用極限思想和條件求出滿足條件a的范圍,再求出a的最小值.

解答 解:由題意得,對任意正整數(shù)m,n,都有am+n=am•an,
令m=1,得到an+1=a1•an,所以$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=a1=$\frac{1}{5}$,
則數(shù)列{an}是首項、公比都為$\frac{1}{5}$的等比數(shù)列,
所以Sn=$\frac{\frac{1}{5}[1-(\frac{1}{5})^{n}]}{1-\frac{1}{5}}$=$\frac{1}{4}(1-\frac{1}{{5}^{n}})$<$\frac{1}{4}$,
因為Sn<a對任意n∈N*恒成立,所以a≥$\frac{1}{4}$,則實數(shù)a的最小值是$\frac{1}{4}$,
故答案為:$\frac{1}{4}$.

點評 本題考查了等比數(shù)列關(guān)系的確定,等比數(shù)列的前n項和的公式,以及不等式恒成立問題,是一道綜合題.

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