Question

20．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-n．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用數(shù)列遞推式，結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）由（Ⅰ）b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，利用“裂項法”即可求得數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（Ⅰ）證明：令n=1，得a₁=2a₁-1，由此得a₁=1．
由于S_n=2a_n-n，則S_n+1=2a_n+1-（n+1），
兩式相減得S_n+1-S_n=2a_n+1-（n+1）-2a_n+n，
即a_n+1=2a_n+1．
∴a_n+1+1=2a_n+1+1=2（a_n+1），即$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n+1}}$=2，
故數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，其首項為a₁+1=2，
故數(shù)列{a_n+1}的通項公式是a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
故數(shù)列{a_n}的通項公式是a_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$，
=$\frac{（{2}^{n+1}-1）-（{2}^{n}-1）}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
所以T_n=b₁+b₂+…+b_n=（$\frac{1}{{2}^{1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{2}-1}$）+（$\frac{1}{{2}^{2}-1}$-$\frac{1}{{2}^{3}-1}$）+…+（$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，），
=$\frac{1}{{2}^{1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{2}-1}$+$\frac{1}{{2}^{2}-1}$-$\frac{1}{{2}^{3}-1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查“裂項法”求數(shù)列的前n項和公式，考查計算能力，屬于中檔題．