Question

已知點A（2，2），直線l：y=2x+1．
（1）求點A關于直線l的對稱點A′的坐標；
（2）當點B，C分別在x軸和直線l上運動時，求△ABC周長的最小值．

Answer 1

考點：與直線關于點、直線對稱的直線方程

專題：直線與圓

分析：：（1）設A′（a，b），則由點A關于直線l的對稱點A′，利用垂直、和中點在對稱軸上這兩個條件求得a、b的值，可得A′的坐標．
（2）由于點A關于x軸的對稱點A₂（2，-2），由線段的中垂線的性質可得|A′A₂|即為△ABC的周長的最小值，計算求得結果．

解答： 解：（1）設A′（a，b），則由點A關于直線l的對稱點A′，
可得

b+2 2 =2× a+2 2 +1 b-2 a-2 ×2=-1

，解得

a=- 2 5 b= 16 5

，
故A′的坐標為（-

2

5

，

16

5

）．
（2）由于點A關于x軸的對稱點A₂（2，-2），
|A′A₂|=

(- 2 5 -2)2+( 16 5 +2)2

=

2 205

5

，
∴△ABC的周長的最小值為

2 205

5

．

點評：本題主要考查求一個點關于某直線的對稱點的坐標的方法，利用了垂直、和中點在對稱軸上這兩個條件，以及線段的中垂線的性質，體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想，屬于基礎題．