分析 (1)求出f(x)的分段函數(shù)的形式,畫(huà)出函數(shù)的圖象,結(jié)合圖象求出不等式的解集即可;
(2)求出m的值,得到${a^2}+1+{b^2}+1=\frac{7}{2}$,根據(jù)不等式的性質(zhì)證明即可.
解答 解:(1)因?yàn)閒(x)=|2x-1|+|x+1|=$\left\{{\begin{array}{l}{-3x,x<-1}\\{-x+2,-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{3x,x>\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$,
所以作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.
從圖中可知滿足不等式f(x)≤3的解集為[-1,1].
(2)證明:從圖中可知函數(shù)y=f(x)的最小值為$\frac{3}{2}$,即$m=\frac{3}{2}$.
所以${a^2}+{b^2}=\frac{3}{2}$,從而${a^2}+1+{b^2}+1=\frac{7}{2}$,
故$\frac{1}{{{a^2}+1}}+\frac{4}{{{b^2}+1}}$=$\frac{2}{7}$[(a2+1)+(b2+1)]($\frac{1}{{a}^{2}+1}$+$\frac{4}{^{2}+1}$)
=$\frac{2}{7}[5+(\frac{{{b^2}+1}}{{{a^2}+1}}+\frac{{4({a^2}+1)}}{{{b^2}+1}})]≥$$\frac{2}{7}[5+2\sqrt{\frac{{{b^2}+1}}{{{a^2}+1}}•\frac{{4({a^2}+1)}}{{{b^2}+1}}}]=\frac{18}{7}$,
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{{{b^2}+1}}{{{a^2}+1}}=\frac{{4({a^2}+1)}}{{{b^2}+1}}$時(shí),等號(hào)成立,
即${a^2}=\frac{1}{6}$,${b^2}=\frac{4}{3}$時(shí),原式有最小值,
所以$\frac{1}{{{a^2}+1}}+\frac{4}{{{b^2}+1}}≥\frac{18}{7}$得證.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題,考查分類討論思想以及數(shù)形結(jié)合思想,考查不等式的性質(zhì),是一道中檔題.
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A. | [-3,2) | B. | (-3,1] | C. | [1,2) | D. | (1,2) |
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A. | -1-i | B. | 1+i | C. | -1+i | D. | 1-i |
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A. | a>b>c | B. | b>a>c | C. | c>b>a | D. | a>c>b |
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A. | 130 | B. | 135 | C. | 260 | D. | 270 |
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