12.已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|x+1|.
(1)在給出的直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=f(x)的圖象,并從圖中找出滿足不等式f(x)≤3的解集;
(2)若函數(shù)y=f(x)的最小值記為m,設(shè)a,b∈R,且有a2+b2=m,試證明:$\frac{1}{{{a^2}+1}}+\frac{4}{{{b^2}+1}}≥\frac{18}{7}$.

分析 (1)求出f(x)的分段函數(shù)的形式,畫(huà)出函數(shù)的圖象,結(jié)合圖象求出不等式的解集即可;
(2)求出m的值,得到${a^2}+1+{b^2}+1=\frac{7}{2}$,根據(jù)不等式的性質(zhì)證明即可.

解答 解:(1)因?yàn)閒(x)=|2x-1|+|x+1|=$\left\{{\begin{array}{l}{-3x,x<-1}\\{-x+2,-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{3x,x>\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$,
所以作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.

從圖中可知滿足不等式f(x)≤3的解集為[-1,1].
(2)證明:從圖中可知函數(shù)y=f(x)的最小值為$\frac{3}{2}$,即$m=\frac{3}{2}$.
所以${a^2}+{b^2}=\frac{3}{2}$,從而${a^2}+1+{b^2}+1=\frac{7}{2}$,
故$\frac{1}{{{a^2}+1}}+\frac{4}{{{b^2}+1}}$=$\frac{2}{7}$[(a2+1)+(b2+1)]($\frac{1}{{a}^{2}+1}$+$\frac{4}{^{2}+1}$)
=$\frac{2}{7}[5+(\frac{{{b^2}+1}}{{{a^2}+1}}+\frac{{4({a^2}+1)}}{{{b^2}+1}})]≥$$\frac{2}{7}[5+2\sqrt{\frac{{{b^2}+1}}{{{a^2}+1}}•\frac{{4({a^2}+1)}}{{{b^2}+1}}}]=\frac{18}{7}$,
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{{{b^2}+1}}{{{a^2}+1}}=\frac{{4({a^2}+1)}}{{{b^2}+1}}$時(shí),等號(hào)成立,
即${a^2}=\frac{1}{6}$,${b^2}=\frac{4}{3}$時(shí),原式有最小值,
所以$\frac{1}{{{a^2}+1}}+\frac{4}{{{b^2}+1}}≥\frac{18}{7}$得證.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題,考查分類討論思想以及數(shù)形結(jié)合思想,考查不等式的性質(zhì),是一道中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

2.已知函數(shù)f(x)=lnx.
(1)設(shè)h(x)為偶函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),h(x)=f(-x)+2x,求曲線y=h(x)在點(diǎn)(1,-2)處的切線方程;
(2)設(shè)g(x)=f(x)-mx,求函數(shù)g(x)的極值;
(3)若存在x0>1,當(dāng)x∈(1,x0)時(shí),恒有f(x)>$\frac{1}{2}{x}^{2}+(k-1)x-k+\frac{1}{2}$成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

3.已知集合A={x|x2+x-6<0},集合B={x|2x-1≥1},則A∩B=( 。
A.[-3,2)B.(-3,1]C.[1,2)D.(1,2)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

20.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)是(1,2),若i虛數(shù)單位,則$\frac{z+1}{z-1}$=( 。
A.-1-iB.1+iC.-1+iD.1-i

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

7.設(shè)正實(shí)數(shù)a,b,c分別滿足2a2+a=1,blog2b=1,clog5c=1,則a,b,c的大小關(guān)系為( 。
A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.a>c>b

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

17.商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng),顧客購(gòu)買(mǎi)一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng).每次抽獎(jiǎng)都是從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中,各隨機(jī)摸出1個(gè)球.在摸出的2個(gè)球中,若都是紅球,則獲一等獎(jiǎng);若只有1個(gè)紅球,則獲二等獎(jiǎng);若沒(méi)有紅球,則不獲獎(jiǎng).則顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率是$\frac{7}{10}$;若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為X,則EX=$\frac{3}{5}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

4.已知函數(shù)$f(x)=lnx-ax+\frac{1-a}{x}-1(a>0)$
(1)設(shè)a>1,試討論f(x)單調(diào)性;
(2)設(shè)g(x)=x2-2bx+4,當(dāng)$a=\frac{1}{4}$時(shí),任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

1.已知橢圓$C:\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$的右焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為A,點(diǎn)P是該橢圓上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△PAF的周長(zhǎng)最大時(shí),△PAF的面積為$\frac{4}{3}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

2.已知數(shù)列{an}滿足:an+1+(-1)nan=n+2(n∈N*),則S20=(  )
A.130B.135C.260D.270

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案