分析 由題意畫出圖形,利用橢圓定義轉(zhuǎn)化可得使△PAF的周長最大時的P的位置,求出其縱坐標,代入三角形面積公式得答案.
解答 解:由橢圓$C:\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$,得a2=2,b2=1,
則c2=a2-b2=1.
∴F(1,0),而A(0,1),
如圖:
設(shè)F′是左焦點,
則△APF周長=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2a-|PF′|=3a+|AP|-|PF′|
≤$3\sqrt{2}$+|AF′|(A,P,F(xiàn)′三點共線時,且P在AF′的延長線上,取等號),
直線AF′的方程為y=x+1,與橢圓方程聯(lián)立可得${y}_{P}=-\frac{1}{3}$.
∴當△PAF的周長最大時,△PAF的面積為$\frac{1}{2}×2×(1+\frac{1}{3})=\frac{4}{3}$.
故答案為:$\frac{4}{3}$.
點評 本題考查橢圓的定義,以及三點共線時取得最值,同時考查三角形面積的計算,確定P的坐標是關(guān)鍵,是中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | [$\frac{25}{4}$,8] | B. | [$\frac{31}{5}$,$\frac{212}{9}$] | C. | [8,$\frac{212}{9}$] | D. | [$\frac{31}{5}$,8] |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $y=±\frac{1}{2}x$ | B. | y=±2x | C. | $y=±\frac{{\sqrt{5}}}{5}x$ | D. | $y=±\sqrt{5}x$ |
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A. | (2,3) | B. | (1,3) | C. | (-∞,-2)∪(1,3) | D. | (-∞,-2)∪(1,+∞) |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{3}{8}$ | B. | $\frac{3}{4}$ | C. | $\frac{9\sqrt{3}}{8}$ | D. | $\frac{9\sqrt{3}}{4}$ |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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