Question

12．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，點(diǎn)A，B，C，D在球O上，球O與BA₁的另一交點(diǎn)為E，與CD₁的另一個(gè)交點(diǎn)為F，且AE⊥BA₁，則球O的體積為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{3}$π
• B． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$π
• C． $\frac{4\sqrt{2}}{3}$π
• D． $\frac{8\sqrt{2}}{3}$π

Answer 1

分析 設(shè)與CD₁的另一個(gè)交點(diǎn)為F，連結(jié)EF，DF，得BCEF是矩形，則三棱柱ABE-DCF是球O的內(nèi)接直三棱柱，求出球O的半徑，即可求出球O體積．

解答 解：設(shè)與CD₁的另一個(gè)交點(diǎn)為F，連結(jié)EF，DF，得BCEF是矩形，
則三棱柱ABE-DCF是球O的內(nèi)接直三棱柱，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AE⊥BA₁，
∴AE=BE=$\sqrt{2}$，
∴球O的半徑R=$\sqrt{2}$，
∴球O體積為：$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{4}{3}$π•（$\sqrt{2}$）³=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$π．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查球的體積公式，以及球內(nèi)接三棱柱的關(guān)系，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．