Question

7．已知f（x）=2x²-3x+1，g（x）=k•sin（x-$\frac{π}{6}$）（k≠0）．
（1）設(shè)f（x）的定義域?yàn)閇0，3]，值域?yàn)锳； g（x）的定義域?yàn)閇0，3]，值域?yàn)锽，且A⊆B，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（2）若方程f（sinx）+sinx-a=0在[0，2π）上恰有兩個(gè)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)和正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分別求出f（x）、g（x）在區(qū)間[0，3]上的最值即得值域A、B；再根據(jù)A⊆B求出k的取值范圍；
（2）根據(jù)f（sinx）+sinx-a=0在x∈[0，2π）上恰有兩個(gè)解，利用換元法設(shè)t=sinx，t∈[-1，1]，構(gòu)造函數(shù)h（t）=2t²-2t+1-a，討論t的取值范圍，從而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，由于f（x）=2x²-3x+1圖象的對(duì)稱軸為$x=\frac{3}{4}$，且開(kāi)口向上，
可知$f{（x）_{min}}=f（\frac{3}{4}）=-\frac{1}{8}$，f（x）_max=f（3）=10，
所以f（x）的值域$A=[-\frac{1}{8}，10]$；…（1分）
當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，$（x-\frac{π}{6}）∈[-\frac{π}{6}，3-\frac{π}{6}]$，$sin（x-\frac{π}{6}）∈[-\frac{1}{2}，1]$；…（2分）
所以當(dāng)k＞0時(shí)，g（x）的值域$B=[-\frac{1}{2}k，k]$；
所以當(dāng)k＜0時(shí)，g（x）的值域$B=[k，-\frac{1}{2}k]$；…（4分）
又∵A⊆B，所以$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{-\frac{1}{2}k≤-\frac{1}{8}}\\{k≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k＜0}\\{k≤-\frac{1}{8}}\\{-\frac{1}{2}k≥10}\end{array}\right.$；…（5分）
即 k≥10或k≤-20；…（6分）
（2）∵f（sinx）+sinx-a=0，所以2sin²x-2sinx+1-a=0在x∈[0，2π）上恰有兩個(gè)解，…（7分）
設(shè)t=sinx，則t∈[-1，1]，令h（t）=2t²-2t+1-a，
①當(dāng)t∈（-1，1）時(shí)，由題意h（t）=0恰有一個(gè)解或者有兩個(gè)相等的解，
即h（-1）•h（-1）＜0或△=4-8（1-a）=0，即1＜a＜5或$a=\frac{1}{2}$；…（9分）
②若t=-1是方程2t²-2t+1-a=0的一個(gè)根，此時(shí)a=5，且方程的另一個(gè)根為t=2，于是sinx=-1或sinx=2，
因此$x=\frac{3π}{2}$，不符合題意，故a=5（舍）；…（10分）
③若t=1是方程2t²-2t+1-a=0的一個(gè)根，此時(shí)a=1，且方程的另一個(gè)根為t=0，于是sinx=1或sinx=0，
因此x=0或$\frac{π}{2}$或π，不符合題意，故a=1（舍）；…（11分）
綜上，a的取值范圍是1＜a＜5或$a=\frac{1}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，考查了換元法與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．