Question

18．如圖所示，CD，GF為圓O的兩條切線，其中E，F(xiàn)分別為圓O的兩個(gè)切點(diǎn)，∠FCD=∠DFG．
（1）求證：AB∥CD；
（2）證明：$\frac{ED}{EC}$=$\frac{BD}{AC}$．

Answer 1

分析 （1）利用弦切角定理，結(jié)合條件，即可證明：AB∥CD；
（2）連接AE，F(xiàn)E，利用弦切角定理、正弦定理證明：$\frac{ED}{EC}$=$\frac{BD}{AC}$．

解答 （1）證明：由題意，∠FAB=∠DFG，
∵∠FCD=∠DFC，
∴∠FCD=∠FAB，
∴AB∥CD；
（2）解：連接AE，F(xiàn)E，
∵CD切圓O于點(diǎn)E，
∴∠CEA=∠AFE，
∵AB∥CD，
∴∠CEA=∠EAB，
∵∠EFD=∠EAB，
∴∠EFD=∠AFE．
△EFD中，由正弦定理可得$\frac{ED}{sin∠EFD}$=$\frac{FD}{sin∠FED}$．
△EFC中，由正弦定理可得$\frac{EC}{sin∠AFE}$=$\frac{FC}{sin∠FEC}$，
∵∠FEC=π-∠FED，
∴$\frac{ED}{EC}$=$\frac{FD}{FC}$，
∵AB∥CD，
∴$\frac{BD}{AC}$=$\frac{FD}{FC}$，
∴$\frac{ED}{EC}$=$\frac{BD}{AC}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查弦切角定理、正弦定理，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確運(yùn)用弦切角定理、正弦定理是關(guān)鍵．