Question

13．已知f（x）=（2x-3）ⁿ展開式的二項式系數(shù)和為512，且（2x-3）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a_n（x-1）ⁿ
（1）求a₂的值；
（2）求a₁+a₂+a₃+…+a_n的值．

Answer 1

分析 （1）利用二項式系數(shù)的性質(zhì)求得n=9，再利用（2x-3）⁹=[-1+2（x-1）]⁹以及通項公式求得a₂的值．
（2）在所給的等式中，令x=1，可得a₀=-1，再令x=2，可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n =1．

解答 解：（1）由）=（2x-3）ⁿ展開式的二項式系數(shù)和為512，可得2ⁿ=512，∴n=9．
∵（2x-3）⁹=[-1+2（x-1）]⁹=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₉（x-1）⁹，
∴a₂=${C}_{9}^{2}$•（-1）⁷•2²=-144．
（2）在（2x-3）⁹=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₉（x-1）⁹中，令x=1，可得a₀=-1．
再令x=2，可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n =1，
∴a₁+a₂+a₃+…+a_n =2．

點評 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點，通過給二項式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡便的求出答案，屬于基礎(chǔ)題．