Question

5．如圖，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB為直徑的圓O交AC于N，過N作圓O的切線交BC于D，OD交圓O于點(diǎn)M．
（Ⅰ）證明：OD∥AC；
（Ⅱ）證明：$\frac{4DM}{CN}=\frac{DM}{DM+AB}$+1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明△OND與△OBD全等，可知BN⊥OD，知∠ABN=∠BDO=∠ODN，所以∠TNA=∠ODN，即可證明：OD∥AC；
（Ⅱ）利用切割線定理證明：$\frac{4DM}{CN}=\frac{DM}{DM+AB}$+1．

解答 證明：（Ⅰ）取DN延長(zhǎng)線上一點(diǎn)T，連接ON，BN．
因?yàn)镈N為圓O的切線，
所以∠TNA=∠ABN，ON⊥DN．
又∠ABC=90°，ON=OB，OD=OD，
所以△OND與△OBD全等，可知BN⊥OD，
知∠ABN=∠BDO=∠ODN，
所以∠TNA=∠ODN，
所以O(shè)D∥AC．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知2OD=AC，BC=2DN，
又CB²=CN•CA，所以4DN²=CN•2OD，
即4DN²=CN•（2DM+AB），
又DN²=DM•（DM+AB），
所以4DM•（DM+AB）=CN•（2DM+AB），
即$\frac{4DM}{CN}=\frac{DM}{DM+AB}+1$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查切割線定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．