Question

2．已知集合U={1，2，…，n}（n∈N^*，n≥2），對(duì)于集合U的兩個(gè)非空子集A，B，若A∩B=∅，則稱（A，B）為集合U的一組“互斥子集”．記集合U的所有“互斥子集”的組數(shù)為f（n）（視（A，B）與（B，A）為同一組“互斥子集”）．
（1）寫(xiě)出f（2），f（3），f（4）的值；
（2）求f（n）．

Answer 1

分析 （1）直接由“互斥子集”的概念求得f（2），f（3），f（4）的值；
（2）由題意，任意一個(gè)元素只能在集合A，B，C=C_U（A∪B）之一中，求出這n個(gè)元素在集合A，B，C中的個(gè)數(shù)，再求出A、B分別為空集的種數(shù)，則f（n）可求．

解答 解：（1）f（2）=1，f（3）=6，f（4）=25；
（2）任意一個(gè)元素只能在集合A，B，C=C_U（A∪B）之一中，
則這n個(gè)元素在集合A，B，C中，共有3ⁿ種；
其中A為空集的種數(shù)為2ⁿ，B為空集的種數(shù)為2ⁿ，
∴A，B均為非空子集的種數(shù)為3ⁿ-2ⁿ⁺¹+1，
又（A，B）與（B，A）為一組“互斥子集”，
∴f（n）=$\frac{1}{2}（{3}^{n}-{2}^{n+1}+1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題是新定義題，考查交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，考查邏輯思維能力與推理運(yùn)算能力，是中檔題．