Question

13．已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為32的正項(xiàng)等比數(shù)列，S_n是其前n項(xiàng)和，且$\frac{{S}_{7}-{S}_{5}}{{S}_{5}-{S}_{3}}$=$\frac{1}{4}$，若S_k≤4•（2^k-1），則正整數(shù)k的最小值為4．

Answer 1

分析 設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，$\frac{{S}_{7}-{S}_{5}}{{S}_{5}-{S}_{3}}$=$\frac{1}{4}$，q²=$\frac{1}{4}$，解得q=$\frac{1}{2}$．可得S_k．代入不等式S_k≤4•（2^k-1），化簡即可得出．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，$\frac{{S}_{7}-{S}_{5}}{{S}_{5}-{S}_{3}}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{a}_{7}+{a}_{6}}{{a}_{5}+{a}_{4}}$=$\frac{{q}^{2}（{a}_{5}+{a}_{4}）}{{a}_{5}+{a}_{4}}$=q²=$\frac{1}{4}$，解得q=$\frac{1}{2}$．
∴S_k=$\frac{32[1-（\frac{1}{2}）^{k}]}{1-\frac{1}{2}}$=$64[1-（\frac{1}{2}）^{k}]$．
不等式S_k≤4•（2^k-1），即$64[1-（\frac{1}{2}）^{k}]$≤4•（2^k-1），化為：16≤2^k，
則正整數(shù)k的最小值為4．
故答案為：4．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．