Question

已知如圖，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD=∠BCD=90°，∠ABD=45°，∠CBD=30°．
（Ⅰ）異面直線AB、CD所成的角為α，異面直線AC、BD所成的角為β，求證：α=β；
（Ⅱ）求二面角B-AC-D的余弦值的絕對(duì)值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明AO⊥面BCD，建立空間直角坐標(biāo)系，確定向量的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論；
（Ⅱ）求出平面ABC、平面ACD一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角B-AC-D的余弦值的絕對(duì)值．

解答：（Ⅰ）證明：設(shè)BD的中點(diǎn)為O，∠BAD=90°，∠ABD=45°，∴∠BDA=45°，即AB=AD，∴AO⊥BD．
∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥面BCD．
以過(guò)O點(diǎn)垂直于BD的直線為x軸，以直線BD為y軸，以直線OA為z，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)|

BD

|=4．
∴A(0，0，2)，B(0，-2，0)，C(

3

，1，0)，D(0，2，0)，
∴

AB

=(0，-2，-2)，

AC

=(

3

，1，-2)，

CD

=(-

3

，1，0)，

BD

=(0，4，0)，
∴cosα=|

AB • CD

| AB |•| CD |

|=

2

2 2 •2

=

2

4

，cosβ=|

AC • BD

| AC |•| BD |

|=

4

2 2 •4

=

2

4

．
∵0°＜α，β≤90°，∴α=β．…6分
（Ⅱ）解：設(shè)

m1

=(x1，y1，z1)，

m2

=(x2，y2，z2)分別是平面ABC、平面ACD一個(gè)法向量，
∴

m1

⊥

AB

，

m1

⊥

.

AC

，即

m1

•

AB

=

m1

•

.

AC

=0，
∴-2y1-2z1=0，

3

x1+y1-2z1=0，不妨取x1=-

3

，得

m1

=(-

3

，1，-1)．
同理可求得

m2

=(1，

3

，

3

)，
∴cos＜

m1

，

m2

＞=

m1 • m2

| m1 |•| m2 |

=

- 3

5 • 7

=-

105

35

，
所以二面角B-AC-D的余弦值的絕對(duì)值為

105

35

．…12分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，確定平面的法向量，正確利用公式是關(guān)鍵．