Question

【題目】如圖，菱形ABCD與正三角形BCE的邊長均為2，且平面ABCD⊥平面BCE，FD⊥平面ABCD， ．
（I）求證：EF∥平面ABCD；
（II）求證：平面ACF⊥平面BDF．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）如圖，過點E作EH⊥BC于H，連接HD，∴ ． ∵平面ABCD⊥平面BCE，EH平面BCE，
平面ABCD∩平面BCE=BC，
∴EH⊥平面ABCD，
又∵FD⊥平面ABCD， ，
∴FD∥EH，FD=EH．
∴四邊形EHDF為平行四邊形．
∴EF∥HD．
∵EF平面ABCD，HD平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD． …
（Ⅱ）∵FD⊥面ABCD，∴FD⊥AC，
又四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又FD∩BD=D，∴AC⊥面FBD，
又AC面ACF，從而面ACF⊥面BDF．…

【解析】（Ⅰ）如圖，過點E作EH⊥BC于H，連接HD，證明四邊形EHDF為平行四邊形，根據線面平行的判定定理即可證明EF∥平面ABCD；（Ⅱ）證明AC⊥面FBD，即可證明平面ACF⊥平面BDF．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對平面與平面垂直的判定的理解，了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．