Question

18．設(shè)P為有公共焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的橢圓C₁與雙曲線C₂的一個(gè)交點(diǎn)，且PF₁⊥PF₂，橢圓C₁的離心率為e₁，雙曲線C₂的離心率為e₂，若3e₁=e₂，則e₁=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得，${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=b₁²tanθ，根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可得，${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{_{2}^{2}}{tanθ}$以及離心率以及a，b，c的關(guān)系即可求出答案．

解答 解：設(shè)∠F₁PF₂=2θ
根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得，${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=b₁²tanθ=b₁²，
∵e₁=$\frac{c}{{a}_{1}}$，
∴a₁=$\frac{c}{{e}_{1}}$，
∴b₁²=a₁²-c²=c²（$\frac{1}{{e}_{1}^{2}}$-1）
根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可得，${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{_{2}^{2}}{tanθ}$=b₂²，
∵e₂=$\frac{c}{{a}_{2}}$
a₂=$\frac{c}{{e}_{2}}$
∴b₂²=c²-a₂²=c²（1-$\frac{1}{{e}_{2}^{2}}$），
∴c²（$\frac{1}{{e}_{1}^{2}}$-1）=c²（1-$\frac{1}{{e}_{2}^{2}}$），
即$\frac{1}{{e}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{e}_{2}^{2}}$=2，
∵3e₁=e₂，
∴e₁=$\frac{\sqrt{5}}{3}$
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐曲線的幾何性質(zhì)，以及橢圓和雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬于中檔題．