Question

7．設△ABC的內角A，B，C 的對邊分別是a，b，c，已知 b+acos C=0，sin A=2sin（A+C）．
（1）求角C的大小；
（2）求$\frac{c}{a}$的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知sin A=2sinB，根據正弦定理可知a=2b，則cosC=-$\frac{a}$=-$\frac{1}{2}$，即可求得C；
（2）利用余弦定理求得c=2$\sqrt{2}$b，即可求得$\frac{c}{a}$的值．

解答 解：（1）sin A=2sin（A+C）=2sin（π-B）=2sinB，
由正弦定理可知：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，
∴a=2b，
由cosC=-$\frac{a}$=-$\frac{1}{2}$，
由0＜C＜π，則C=$\frac{2π}{3}$，
（2）由余弦定理可知：c²=a²+b²-2abcosC=4b²+b²+2b²=8b²，則c=2$\sqrt{2}$b，
則$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}b}{2b}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{c}{a}$的值為$\sqrt{2}$．

點評 本題考查正弦定理及余弦定理的應用，特殊角的三角函數(shù)值，考查計算能力，屬于基礎題．