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19.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)經過點(0,$\sqrt{3}$),離心率e=$\frac{1}{2}$.
(Ⅰ)求橢圓C的方程及焦距.
(Ⅱ)橢圓C的左焦點為F1,右頂點為A,經過點A的直線l與橢圓C的另一交點為P.若點B是直線x=2上異于點A的一個動點,且直線BF1⊥l,問:直線BP是否經過定點?若是,求出該定點的坐標;若不是,說明理由.

分析 (I)由題意可得:b=$\sqrt{3}$,$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$,a2=b2+c2.聯(lián)立解得:a,c.即可得出橢圓C的方程及其焦距.
(II)設PA的方程為:my=x-2.(m≠0).與橢圓方程聯(lián)立化為:(3m2+4)y2+12my=0,
解得P$(\frac{8-6{m}^{2}}{3{m}^{2}+4},\frac{-12m}{3{m}^{2}+4})$.設B(2,t),根據$\frac{t}{3}×(\frac{1}{m})$=-1,解得t=-3m.可得直線BP的方程為:y+3m=kBP(x-2),可得直線BP經過定點(-2,0).

解答 解:(I)由題意可得:b=$\sqrt{3}$,$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$,a2=b2+c2
聯(lián)立解得:a=2,c=1.
∴橢圓C的方程為:$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1,焦距為2.
(II)設PA的方程為:my=x-2.(m≠0).
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$,化為:(3m2+4)y2+12my=0,
解得yP=$\frac{-12m}{3{m}^{2}+4}$,∴xP=$\frac{8-6{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}$.
∴P$(\frac{8-6{m}^{2}}{3{m}^{2}+4},\frac{-12m}{3{m}^{2}+4})$.
設B(2,t),則$\frac{t}{3}×(\frac{1}{m})$=-1,解得t=-3m.
∴直線BP的方程為:y+3m=$\frac{-3m+\frac{12m}{3{m}^{2}+4}}{2-\frac{8-6{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}}$(x-2),
化為:4y+m(6+3x)=0,令6+3x=0,4y=0,
解得x=-2,y=0.
∴直線BP經過定點(-2,0).

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、一元二次方程的根與系數的關系、相互垂直的直線斜率之間的關系,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.

練習冊系列答案
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(2)若規(guī)定數學成績不小于130分的學生為“數學尖子生”,得到如下數據表:請你根據已知條件完成下列2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認為“數學尖子生與性別有關”?
數學尖子生數學尖子生合計
男生
女生
合計100
參考數據:
 P(K2≥k20.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 
 k02.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 
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