Question

11．已知函數(shù)f（x）=cos2x，二次函數(shù)g（x）滿足g（0）=4，且對(duì)任意的x∈R，不等式-3x²-2x+3≤g（x）≤4x+6成立，則函數(shù)f（x）+g（x）的最大值為（　�。�

• A． 5
• B． 6
• C． 4
• D． 7

Answer 1

分析 根據(jù)不等式恒成立，求出函數(shù)g（x）的解析式，利用二次函數(shù)的最值性質(zhì)以及余弦函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵二次函數(shù)g（x）滿足g（0）=4，
∴設(shè)g（x）=ax²+bx+4，
由-3x²-2x+3≤4x+6得3x²+6x+3≥0即3（x+1）²≥0，
即當(dāng)x=-1時(shí)，3（x+1）²=0，此時(shí)直線y=4x+6與y=-3x²-2x+3相切，切點(diǎn)為（-1，2），
此時(shí)g（x）過（-1，2），則a-2b+4=2，得b=$\frac{a}{2}$+1，
即g（x）=ax²+（$\frac{a}{2}$+1）x+4，
由-3x²-2x+3≤g（x）≤4x+6恒成立得
-3x²-2x+3≤ax²+（$\frac{a}{2}$+1）x+4≤4x+6，
由-3x²-2x+3≤ax²+（$\frac{a}{2}$+1）x+4得（a+3）x²+（$\frac{a}{2}$+3）x+1≥0恒成立，當(dāng)a=-3時(shí)，不滿足條件．
當(dāng)a≠-3時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{a+3＞0}\\{△=（\frac{a}{2}+3）^{2}-4（a+3）=\frac{{a}^{2}}{4}-a-3≤0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a＞-3}\\{-2≤a≤6}\end{array}\right.$得-2≤a≤6，
由ax²+（$\frac{a}{2}$+1）x+4≤4x+6得ax²+（$\frac{a}{2}$-3）-2≤0恒成立，當(dāng)a=0時(shí)，不滿足條件．
當(dāng)a≠0時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△=（\frac{a}{2}-3）^{2}+8a=\frac{{a}^{2}}{4}+5a+19≤0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{-18≤a≤-2}\end{array}\right.$，得-18≤a≤-2，
綜上a=-2，
則g（x）=-2x²+4，當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)g（x）取得最大值4，
而當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=cos2x也取得最大值1，
則函數(shù)f（x）+g（x）=cos2x-2x²+4的最大值為1+4=5，
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)最值的求解，根據(jù)不等式恒成立，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．