Question

3．已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足：①對(duì)于任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x-2）；②函數(shù)y=f（x+2）是偶函數(shù)；③當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，f（x）=e^x-$\frac{1}{x}$，a=f（-5），b=f（$\frac{19}{2}$）．c=f（$\frac{41}{4}$），則a，b，c的大小關(guān)系是（　�。�

• A． a＜b＜c
• B． c＜a＜b
• C． c＜a＜b
• D． b＜a＜c

Answer 1

分析 根據(jù)條件分別判斷函數(shù)的周期性和對(duì)稱性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：由f（x+2）=f（x-2）得f（x+4）=f（x），即函數(shù)的周期是4，
∵函數(shù)y=f（x+2）是偶函數(shù)，∴f（-x+2）=f（x+2），即函數(shù)關(guān)于x=2對(duì)稱，
當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，f（x）=e^x-$\frac{1}{x}$為增函數(shù)，
則f（-5）=f（-5+8）=f（3）=f（1），
f（$\frac{19}{2}$）=f（$\frac{19}{2}$-8）=f（$\frac{3}{2}$），
f（$\frac{41}{4}$）=f（$\frac{41}{4}$-8）=f（$\frac{9}{4}$）=f（$\frac{1}{4}$+2）=f（-$\frac{1}{4}$+2）=f（$\frac{7}{4}$），
∵1＜$\frac{3}{2}$＜$\frac{7}{4}$，∴f（1）＜f（$\frac{3}{2}$）＜f（$\frac{7}{4}$），
即a＜b＜c，
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值的大小比較，利用函數(shù)周期性，對(duì)稱性以及單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．