Question

17．已知函數f（x）=x²-（k-2）x+k²+3k+5有兩個零點．
（1）若函數的兩個零點都大于-2，求k的取值范圍；
（2）若函數的兩個零點是α和β，求α²+β²的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）、根據題意，結合二次函數的性質分析可得$\left\{\begin{array}{l}{△=（k-2）^{2}-4（{k}^{2}+3k+5）＞0}\\{f（-2）=4+2（k-2）+（{k}^{2}+3k+5）＞0}\\{\frac{k-2}{2}＜-2}\end{array}\right.$，解可得k的范圍，即可得答案；
（2）若函數的兩個零點是α和β，即方程x²-（k-2）x+k²+3k+5=0的兩根為α和β，首先方程有2根，則有△=（k-2）²-4（k²+3k+5）≥0，解可得k的范圍，進而由根與系數的關系的關系可得$\left\{\begin{array}{l}{α+β=k-2}\\{α•β={k}^{2}+3k+5}\end{array}\right.$，分析有α²+β²=（α+β）-2αβ=-k²-10k-6，結合k的范圍，分析可得（-k²-10k-6）的范圍，即可得答案．

解答 解：（1）根據題意，函數f（x）=x²-（k-2）x+k²+3k+5有兩個大于-2的零點，
則二次函數f（x）=x²-（k-2）x+k²+3k+5與x軸有2個交點，且交點都在（-2，0）的右側，
則有$\left\{\begin{array}{l}{△=（k-2）^{2}-4（{k}^{2}+3k+5）＞0}\\{f（-2）=4+2（k-2）+（{k}^{2}+3k+5）＞0}\\{\frac{k-2}{2}＜-2}\end{array}\right.$，
解可得$\frac{-5+\sqrt{5}}{2}$＜k＜-$\frac{4}{3}$，
故k的取值范圍是（$\frac{-5+\sqrt{5}}{2}$，-$\frac{4}{3}$）；
（2）若函數的兩個零點是α和β，即方程x²-（k-2）x+k²+3k+5=0的兩根為α和β，
則必有△=（k-2）²-4（k²+3k+5）≥0，
解可得-4≤k≤-$\frac{4}{3}$，
又由$\left\{\begin{array}{l}{α+β=k-2}\\{α•β={k}^{2}+3k+5}\end{array}\right.$，
α²+β²=（α+β）²-2αβ=-k²-10k-6，
又由-4≤k≤-$\frac{4}{3}$，
令t=-k²-10k-6，則t=-（k+5）²+19，
又由-4≤k≤-$\frac{4}{3}$，
則$\frac{50}{9}$≤t≤18；
則α²+β²的取值范圍是[$\frac{50}{9}$，18]

點評 本題考查二次函數的性質，涉及函數零點的定義與判定，關鍵是正確掌握理解函數與方程的關系．