Question

14．已知函數(shù)$f（x）=ln（{x+\frac{1}{a}}）-ax$（a∈R，且a≠0）．
（1）討論f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若直線y=ax的圖象恒在函數(shù)y=f（x）圖象的上方，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的定義域，求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)討論參數(shù)a，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）構(gòu)造函數(shù)令h（x）=ax-f（x），則$h（x）=2ax-ln（{x+\frac{1}{a}}）$．問題轉(zhuǎn)化為h（x）＞0恒成立時a的取值范圍．對參數(shù)a進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域?yàn)?（{-\frac{1}{a}，+∞}）$，且$f'（x）=\frac{1}{{x+\frac{1}{a}}}-a=-\frac{{{a^2}x}}{ax+1}$．
①當(dāng)a＜0時，∵$x＞-\frac{1}{a}$，∴ax＜-1，∴f'（x）＞0，函數(shù)在$（{-\frac{1}{a}，+∞}）$是增函數(shù)；
②當(dāng)a＞0時，ax+1＞0，在區(qū)間$（{-\frac{1}{a}，0}）$上，f'（x）＞0；在區(qū)間（0，+∞）上，f'（x）＜0．
所以f（x）在區(qū)間$（{-\frac{1}{a}，0}）$上是增函數(shù)；在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)．
（2）令h（x）=ax-f（x），則$h（x）=2ax-ln（{x+\frac{1}{a}}）$．
問題轉(zhuǎn)化為h（x）＞0恒成立時a的取值范圍．
當(dāng)a＜0時，取$x=e-\frac{1}{a}$，則h（x）=2ae-3＜0，不合題意．
當(dāng)a＞0時，h（x）=ax-f（x），則$h（x）=2ax-ln（{x+\frac{1}{a}}）$．
由于$h'（x）=2a-\frac{1}{{x+\frac{1}{a}}}=\frac{{2a（{x+\frac{1}{2a}}）}}{{x+\frac{1}{a}}}$，
所以在區(qū)間$（{-\frac{1}{a}，-\frac{1}{2a}}）$上，h'（x）＜0；在區(qū)間$（{-\frac{1}{2a}，+∞}）$上，h'（x）＞0．
所以h（x）的最小值為$h（{-\frac{1}{2a}}）$，
所以只需$h（{-\frac{1}{2a}}）＞0$，即$2a•（{-\frac{1}{2a}}）-ln（{-\frac{1}{2a}+\frac{1}{a}}）＞0$，
所以$ln\frac{1}{2a}＜-1$，
所以$a＞\frac{e}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)函數(shù)的綜合應(yīng)用，難點(diǎn)是對參數(shù)的分類討論和構(gòu)造函數(shù)，把恒成立問題轉(zhuǎn)換為最值問題．