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5.已知△ABC中,AC=2,BC=6,∠ACB=\frac{π}{6},若線段BA的延長線上存在點(diǎn)D,使∠BDC=\frac{π}{4},則CD=\sqrt{3}

分析 在△ABC中,由余弦定理可得AB,進(jìn)而可求∠B,在△ACD中,由正弦定理可得CD的值.

解答 解:∵AC=\sqrt{2},BC=\sqrt{6},∠ACB=\frac{π}{6}
在△ABC中,由余弦定理可得:
AB2═BC2+AC2-2BC•AC•cos∠ACB=2+6-2×\sqrt{2}×\sqrt{6}×\frac{\sqrt{3}}{2}=2,
∴AB=\sqrt{2}
∴∠B=∠ACB=\frac{π}{6},
∴∠DAC=∠B+∠ACB=\frac{π}{3},
在△ACD中,由正弦定理可得\frac{AC}{sin∠ADC}=\frac{CD}{sin∠DAC},
∴CD=\frac{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{3}
故答案為:\sqrt{3}

點(diǎn)評 本題主要考查了余弦定理,正弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.

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