Question

已知函數f（x）=（x-1-alnx）•lnx，（a∈R）
（1）若a=，求f（x）的單調區(qū)間；（2）當x≥1時，f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f（x）=（x-1-lnx）•lnx，的定義域為（0，+∞），
f′（x）=（1-）•lnx+（x-1-lnx）•=（lnx+1）（1-）
令f′（x）＞0，解得x＞1或0＜x＜，
f′（x）＜0，解得x＜1，
∴f（x）在區(qū)間（，1）上單調遞減，在區(qū)間（1，+∞），（0，）單調遞增；
（2）∵當x≥1時，f（x）≥0恒成立，
∴當x=1時，f（x）=0恒成立，
當x＞1時，f（x）≥0恒成立，即（x-1-alnx）•lnx，≥0恒成立，
∴x-1-alnx≥0恒成立，
令g（x）=x-1-alnx，（x＞1）
由 ，令g'（x）=0，得 ，即x=a，
當a≤1時，g'（x）＞0，函數g（x）在（1，+∞）上單調遞增；
x＞1時，g（x）＞g（1）=0，故恒成立；
當a＞1時，當x∈（1，a）時，g'（x）＜0，函數g（x）在（1，a）上單調遞減；當x∈（a，+∞）時，
g'（x）＞0，函數g（x）在（a，+∞）上單調遞增；
∴當x=a時，g（x）取最小值a-1-alna，
∴a-1-alna≥0，
而F（a）=a-1-alna，（a＞1），F(xiàn)′（a）=1-lna-1=-lna＜0，
∴a=1，與a＞1矛盾，
綜上a≤1．
分析：（1）求函數f（x）=（x-1-lnx）•lnx，的導數，令導數大于零，（小于零），解不等式即可求出它的單調遞增（遞減）區(qū)間；
（2）要求當x≥1時，f（x）≥0恒成立，即求函數f（x）在[1，+∞）上的最小值即可，利用導數求函數的極值和單調區(qū)間，分類討論求解極值點是否在定義域內．
點評：此題是個難題．本題考查函數的導數研究函數的單調性，以及函數的導數在求函數最值的應用，解題的關鍵是將恒成立問題轉化為函數最值問題解決，體現(xiàn)了轉化的思想和分類討論的思想．