已知函數(shù)f(x)=|x-a|,g(x)=ax(a∈R).
(1)討論函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)若a>0,記F(x)=g(x)-f(x),且F(x)在(0,+∞)上有最大值,求a的取值范圍.
分析:(1)分兩種情況討論:當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(x)=|x|是一個(gè)偶函數(shù);當(dāng)a≠0時(shí),通過(guò)取特值:x=a時(shí)f(-a)與f(a)的關(guān)系得出函數(shù)f(x)=|x-a|是非奇非偶函數(shù).
(2)利用零點(diǎn)分段法,我們易將函數(shù)的解析式化為分段函數(shù)的形式,然后根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性的判判斷方法,分類討論,即可得到結(jié)論,討論a的范圍,確定最值落在哪個(gè)區(qū)間,從而求出a的值.
解答:解:(1)當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(x)=|x|是一個(gè)偶函數(shù);
當(dāng)a≠0時(shí),取特值:f(a)=0,f(-a)=2|a|≠0,
故函數(shù)f(x)=|x-a|是非奇非偶函數(shù).
(2)對(duì)于a>0,
F(x)=g(x)-f(x)=ax-|x-a|= | (a+1)x-a(0<x<a) | (a-1)x+a(x≥a) |
| |
若a>1,F(xiàn)(x)在區(qū)間(0,a),[a,+∞)上遞增,無(wú)最大值;
若a=1,
F(x)=有最大值1
若0<a<1,F(xiàn)(x)在區(qū)間(0,a)上遞增,在[a,+∞)上遞減,F(xiàn)(x)有最大值F(a)=a
2;
綜上所述得,當(dāng)0<a≤1時(shí),F(xiàn)(x)有最大值.
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,函數(shù)奇偶性的判斷及分段函數(shù)的圖象單調(diào)性,關(guān)鍵是要利用零點(diǎn)分段法,我們易將函數(shù)的解析式化為分段函數(shù)的形式后研究其性質(zhì).