Question

如圖，在正方體OABC-O₁A₁B₁C₁中，P，Q分別是棱AB，B₁C₁上的動點，且AP=B₁Q，M、N、R分別為AB₁，PQ，BC₁的中點．
（Ⅰ）當時，求異面直線PM，A₁C₁所成的角；
（Ⅱ）求證：點N恒在線段MR上．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系，設OA=1，進而用坐標表示向量．可得，利用向量的數(shù)量積可得夾角公式，故可求異面直線PM，A₁C₁所成角的余弦值．
（Ⅱ）要證點N恒在線段MR上，即證三點，M，N，R共線，即證
解答：解：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系，設OA=1
則 O（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0）
C（0，1，0），A₁（1，0，1），O₁（0，0，1）
R（．
當 時，P，
則，
所以 ．
故異面直線PM，A₁C₁所成角的余弦值為．
（Ⅱ）證明：設，則
P（1，λ，0），Q（1-λ，1，1），則．
所以 
而0≤λ≤1，故 點N恒在線段MR上．
點評：本題以正方體為載體，考查空間向量，考查線線角，關鍵是坐標系的建立，用坐標表示向量．