Question

9．已知0＜α＜$\frac{π}{2}$，cos（2π-α）-sin（π-α）=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$
（1）求sinα+cosα的值；
（2）求$\frac{{{{cos}^2}（\frac{3π}{2}+α）+2cosαcos（\frac{π}{2}-α）}}{{1+{{sin}^2}（\frac{π}{2}-α）}}$的值．

Answer 1

分析 （1）原式化簡，利用二倍角的正弦函數(shù)公式可求${（{cosα+sinα}）^2}=\frac{9}{5}$，結(jié)合范圍0＜α＜$\frac{π}{2}$，即可得解sinα+cosα的值．
（2）由（1）即可解得cosα，sinα的值，利用誘導(dǎo)公式化簡所求即可計算得解．

解答 解：（1）原式化簡：$cosα-sinα=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
平方得：$1-2cosαsinα=\frac{1}{5}$$⇒2cosαsinα=\frac{4}{5}$$⇒1+2cosαsinα=\frac{9}{5}$，
因為：0＜α＜$\frac{π}{2}$，
所以：cosα+sinα＞0
因為：${（{cosα+sinα}）^2}=\frac{9}{5}$，
所以：$cosα+sinα=\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$．
（2）∵由$cosα-sinα=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，$cosα+sinα=\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$，
可得：cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴原式化簡得$\frac{{{{sin}^2}α+2cosαsinα}}{{1+{{cos}^2}α}}=\frac{4}{3}$．

點評 本題主要考查了誘導(dǎo)公式，二倍角的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．