Question

5．已知函數$f（x）=\frac{lnx}{x}$．
（1）求f（x）的極值；
（2）當0＜x＜e時，求證：f（e+x）＞f（e-x）；
（3）設函數f（x）圖象與直線y=m的兩交點分別為A（x₁，f（x₁）、B（x₂，f（x₂）），中點橫坐標為x₀，證明：f'（x₀）＜0．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的極值即可；
（2）問題轉化為證明（e-x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e-x），設F（x）=（e-x）ln（e+x）-（e+x）ln（e-x），根據函數的單調性證明即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，f（x）的定義域是（0，+∞），
x∈（0，e）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；
x∈（e，+∞）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減．
當x=e時，f（x）取極大值為$\frac{1}{e}$，無極小值．
（2）要證f（e+x）＞f（e-x），即證：$\frac{ln（e+x）}{e+x}＞\frac{ln（e-x）}{e-x}$，
只需證明：（e-x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e-x）．
設F（x）=（e-x）ln（e+x）-（e+x）ln（e-x），
$F'（x）=\frac{{2（{e^2}+{x^2}）}}{{{e^2}-{x^2}}}-ln（{e^2}-{x^2}）=[2-ln（{e^2}-{x^2}）]+\frac{{4{x^2}}}{{{e^2}-{x^2}}}＞0$，
∴F（x）＞F（0）=0，
故（e-x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e-x），
即f（e+x）＞f（e-x），
（3）證明：不妨設x₁＜x₂，由（1）知0＜x₁＜e＜x₂，∴0＜e-x₁＜e，
由（2）得f[e+（e-x₁）]＞f[e-（e-x₁）]=f（x₁）=f（x₂），
又2e-x₁＞e，x₂＞e，且f（x）在（e，+∞）上單調遞減，
∴2e-x₁＜x₂，即x₁+x₂＞2e，
∴${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}＞e$，∴f'（x₀）＜0．

點評 本小題主要考查函數與導數的知識，具體涉及到導數的運算，用導數來研究函數的單調性等，考查學生解決問題的綜合能力．