Question

函數(shù)，?m，n∈[0，5]（m＜n），使f（x）在[m，n]上的值域?yàn)閇m，n]，則這樣的實(shí)數(shù)對(duì)（m，n）共有（ ）
A．1個(gè)
B．2個(gè)
C．3個(gè)
D．4個(gè)

Answer 1

【答案】分析：先畫(huà)出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的圖象分①0≤m＜n＜3，②3≤m＜n≤5，③0≤m＜3＜n＜5三種情況，判斷函數(shù)的表達(dá)式及在對(duì)應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性可求．
解答：解：先畫(huà)出函數(shù)的圖象，如圖所示，由題意可得m≠0
①當(dāng)0≤m＜n＜3時(shí)，f（x）=在區(qū)間[m，n]單調(diào)遞增，則⇒⇒
②當(dāng)3≤m＜n≤5，f（x）=10-2x在[m，n]單調(diào)遞減，則⇒⇒m=n（舍）
③當(dāng)0≤m＜3＜n＜5時(shí)，可知函數(shù)的最大值為f（3）=4=n，從而可得函數(shù)的定義域及值域?yàn)閇m，4]，而f（4）=2
（i）當(dāng)m=2時(shí)，定義域[2，4]，f（2）=＞f（4）=2，故值域?yàn)閇2，4]符合題意
（ii）當(dāng)m＜2時(shí)，=m可得m=1，n=4，符合題意
（iii）當(dāng)m=0時(shí)，定義域[0，4]，f（3）=4＞f（4）=2，故值域?yàn)閇0，4]符合題意
綜上可得符合題意的有（0，1），（0，4），（1，4），（2，4）
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了分段函數(shù)的值域的求解，解題中如能借助于函數(shù)的圖象，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，要注意數(shù)形結(jié)合及分類討論思想在解題中的運(yùn)用．