Question

16．某學校為了制定治理學校門口上學、方向期間家長接送孩子亂停車現象的措施，對全校學生家長進行了問卷調查．根據從其中隨機抽取的50份調查問卷，得到了如下的列聯表．

	同意限定區(qū)域停車	不同意限定區(qū)域停車	合計
男	18	7	25
女	12	13	25
合計	30	20	50

（Ⅰ）學校計劃在同意限定區(qū)域停車的家長中，按照分層抽樣的方法，隨機抽取5人在上學、放學期間在學校門口參與維持秩序．在隨機抽取的5人中，選出2人擔任召集人，求至少有一名女性的概率？
（Ⅱ）已知在同意限定區(qū)域停車的12位女性家長中，有3位日常開車接送孩子．現從這12位女性家長中隨機抽取3人參與維持秩序，記參與維持秩序的女性家長中，日常開車接送孩子的女性家長人數為ξ，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件求出男性、女性選出$\frac{5}{30}×12=2$人，然后求至少有一名女性的概率．
（Ⅱ）求出隨機變量ξ的所有可能取值為0，1，2，3，求出概率，得到分布列，然后求解期望．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，男性選出$\frac{5}{30}×18=3$人，
女性選出$\frac{5}{30}×12=2$人，共5人參與維持秩序，
所以選出2人擔任招集人，求至少有一名女性的概率為$P=\frac{C_2^1C_3^1+C_2^2}{C_5^2}=\frac{7}{10}$．
（Ⅱ）由題意知，同意限定區(qū)域停車的12位女性家長中，選出參與維持秩序的女性家長人數為3人．
隨機變量ξ的所有可能取值為0，1，2，3，
所以$P（ξ=0）=\frac{C_9^3}{{C_{12}^3}}=\frac{21}{55}$，$P（ξ=1）=\frac{C_9^2C_3^1}{{C_{12}^3}}=\frac{27}{55}$，$P（ξ=2）=\frac{C_9^1C_3^2}{{C_{12}^3}}=\frac{27}{220}$，$P（ξ=3）=\frac{C_3^3}{{C_{12}^3}}=\frac{1}{220}$，
因此ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{21}{55}$	$\frac{27}{55}$	$\frac{27}{220}$	$\frac{1}{220}$

所以ξ的期望為$E（ξ）=0×\frac{21}{55}+1×\frac{27}{55}+2×\frac{27}{220}+3×\frac{1}{220}=\frac{3}{4}$．

點評 本題考查概率的應用，分布列以及期望的求法，考查分析問題解決問題的能力．