Question

6．已知函數(shù)f（x）=ln（ax+b）+e^x-1（a≠0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1，b=1時(shí)，判斷函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）若f（x）≤e^x-1+x+1，求ab的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=-1，b=1時(shí)，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，求出定義域，通過(guò)當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）＞0，說(shuō)明函數(shù)f（x）在（-∞，0]內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性零點(diǎn)判定定理，推出結(jié)果．
（Ⅱ）不等式化為ln（ax+b）+e^x-1≤e^x-1+x+1，即ln（ax+b）≤x+1，設(shè)g（x）=ln（ax+b）-x-1，說(shuō)明a＞0，清楚函數(shù)的$g'（x）=\frac{a}{ax+b}-1=\frac{-ax+a-b}{ax+b}$（ax+b＞0），當(dāng)$-\frac{a}＜x＜1-\frac{a}$時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)$x＞1-\frac{a}$時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，推出ab≤2a²-a²lna，令h（a）=2a²-a²lna，h'（a）=3a-2alna，求解函數(shù)的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=-1，b=1時(shí)，f（x）=ln（-x+1）+e^x-1，定義域?yàn)閧x|x＜1}，
當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=ln（-x+1）+e^x-1＞0，所以函數(shù)f（x）在（-∞，0]內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，$f'（x）=\frac{1}{x-1}+{e^{x-1}}$，因?yàn)?\frac{1}{x-1}＜-1$，e^x-1＜1，所以$f'（x）=\frac{1}{x-1}+{e^{x-1}}＜0$，
說(shuō)明函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
又f（0）=e^-1＞0，當(dāng)$x=1-\frac{1}{e}$時(shí)，$f（x）={e^{-\frac{1}{e}}}-1＜{e^0}-1=0$，
所以函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
綜上，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1；…5分
（Ⅱ）若ln（ax+b）+e^x-1≤e^x-1+x+1，即ln（ax+b）≤x+1，設(shè)g（x）=ln（ax+b）-x-1，
若a＜0，則當(dāng)x→-∞時(shí)，顯然g（x）＞0，故不符合題意，所以a＞0．…7分
$g'（x）=\frac{a}{ax+b}-1=\frac{-ax+a-b}{ax+b}$（ax+b＞0），
當(dāng)$-\frac{a}＜x＜1-\frac{a}$時(shí)，g'（x）＞0，所以g（x）在$（-\frac{a}，1-\frac{a}）$上單調(diào)遞增；
當(dāng)$x＞1-\frac{a}$時(shí)，g'（x）＜0，所以g（x）在$（1-\frac{a}，+∞）$上單調(diào)遞減；
從而$g{（x）_{max}}=g（1-\frac{a}）=lna+\frac{a}-2$，
由題意可知$g{（x）_{max}}=g（1-\frac{a}）=lna+\frac{a}-2≤0$，所以b≤2a-alna，…9分
此時(shí)ab≤2a²-a²lna，令h（a）=2a²-a²lna，h'（a）=3a-2alna，
可知h（a）在$（0，{e^{\frac{3}{2}}}）$上單調(diào)增，在$（{e^{\frac{3}{2}}}，+∞）$上單調(diào)減，
所以$h{（a）_{max}}=\frac{1}{2}{e^3}$，故ab的最大值為$\frac{1}{2}{e^3}$．…12分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，是較難題．