Question

14．已知實數(shù)a，b滿足0＜a＜1，-1＜b＜1，則函數(shù)$y=\frac{1}{3}a{x^3}+a{x^2}+b$有三個零點的概率為$\frac{5}{16}$．

Answer 1

分析 由函數(shù)有極值可得b＜a²，由定積分可求滿足題意的區(qū)域面積，由幾何概型的概率公式可得．由函數(shù)有極值可得b＜a²，由定積分可求滿足題意的區(qū)域面積，由幾何概型的概率公式可得．

解答 解：對y=$\frac{1}{3}$ax³+ax²+b求導(dǎo)數(shù)可得y′=ax²+2ax，令ax²+2ax=0，可得x=0，或x=-2，0＜a＜1，
x=-2是極大值點，x=0是極小值點，函數(shù)y=$\frac{1}{3}$ax³+ax²+b
有三個零點，可得$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）＞0}\\{f（0）＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{8}{3}a+4a+b＞0}\\{b＜0}\end{array}\right.$，
畫出可行域如圖：滿足函數(shù)y=$\frac{1}{3}$ax³+ax²+b有三個零點，如圖深色區(qū)域，實數(shù)a，b滿足0＜a＜1，-1＜b＜1，為長方形區(qū)域，所以長方形的面積為：2，實數(shù)區(qū)域的面積為：$\frac{1}{2}$×（1+$\frac{1}{4}$）=$\frac{5}{8}$
∴所求概率為P=$\frac{\frac{5}{8}}{2}$=$\frac{5}{16}$，
故答案為：$\frac{5}{16}$．

點評 本題考查幾何概型的求解，涉及導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值，函數(shù)的零點以及線性規(guī)劃的應(yīng)用，屬中檔題．