Question

1．在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“擴(kuò)展”．將數(shù)列1，2進(jìn)行“擴(kuò)展”，第一次得到數(shù)列1，2，2；第二次得到數(shù)列1，2，2，4，2；…．設(shè)第n次“擴(kuò)展”后所得數(shù)列為1，x₁，x₂，…，x_m，2，并記a_n=log₂（1•x₁•x₂•…•x_m•2），則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為${a_n}=\frac{{{3^n}+1}}{2}$，n∈N*．

Answer 1

分析 由a_n=log₂（1•x₁•x₂•…•x_m•2），可得a_n+1=log₂[1•（1•x₁）•x₁•（x₁x₂）•x₂•…•x_m（2x_m）•2]，可化為a_n+1=3a_n-1，設(shè)a_n+1+t=3（a_n+t），求得t，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，計(jì)算即可得到所求．

解答 解：a_n=log₂（1•x₁•x₂•…•x_m•2），
可得a_n+1=log₂[1•（1•x₁）•x₁•（x₁x₂）•x₂•…•x_m（2x_m）•2]
=${log_2}（{1^3}•{x_1}^3•{x_2}^3•…•{x_m}^3•{2^2}）=3{a_n}-1$．
設(shè)a_n+1+t=3（a_n+t），
即為a_n+1=3a_n+2t，可得t=-$\frac{1}{2}$，
則{a_n-$\frac{1}{2}$}是首項(xiàng)為2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，公比為3的等比數(shù)列，
可得a_n-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$•3^n-1，
即為a_n=$\frac{{3}^{n}+1}{2}$，n∈N*．
故答案為：${a_n}=\frac{{{3^n}+1}}{2}$，n∈N*．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想和數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用構(gòu)造等比數(shù)列，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．