Question

13．若對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，函數(shù)f（x）=（x-1）lnx-ax+a+b有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-1]
• B． （-∞，0）
• C． （0，1）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 作出y=（x-1）lnx與y=a（x-1）-b的函數(shù)圖象，根據(jù)兩圖象恒有兩個(gè)交點(diǎn)得出直線定點(diǎn)的位置，從而得出b的范圍．

解答 解：令f（x）=0得（x-1）lnx=a（x-1）-b，
令g（x）=（x-1）lnx，則g′（x）=lnx+1-$\frac{1}{x}$，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
作出y=（x-1）lnx與y=a（x-1）-b的大致函數(shù)圖象，

∵f（x）很有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
∴y=a（x-1）-b與g（x）=（x-1）lnx恒有兩個(gè)交點(diǎn)，
∵直線y=a（x-1）-b恒過(guò)點(diǎn)（1，-b），
∴-b＞0，即b＜0．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性的判斷與極值計(jì)算，屬于中檔題．