Question

5．已知橢圓E的焦點在x軸上，長軸長為2$\sqrt{5}$，離心率為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；拋物線G：y²=2px（p＞0）的焦點F與橢圓E的右焦點重合，若斜率為k的直線l過拋物線G的焦點F與橢圓E交于A，B兩點，與拋物線G相交于C，D兩點．
（1）求橢圓E及拋物線G的方程；
（2）證明：存在實數(shù)λ，使得$\frac{2}{|AB|}$+$\frac{λ}{CD}$為常數(shù)，并求λ的值．

Answer 1

分析 （1）由2a=2$\sqrt{5}$，根據(jù)橢圓的離心率公式即可求得c的值，代入，b²=a²-c²=1，求得橢圓方程，由$\frac{p}{2}$=c，求得c的值，求得拋物線方程；
（2）設(shè)直線l的方程，分別代入橢圓方程及拋物線方程，分別求得丨AB丨及丨CD丨，由$\frac{2}{|AB|}$+$\frac{λ}{丨CD丨}$=$\frac{（20+\sqrt{5}λ）{k}^{2}+4}{8\sqrt{5}（{k}^{2}+1）}$為常數(shù)，則須有20+$\sqrt{5}$λ=4，即可求得λ的值．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），由2a=2$\sqrt{5}$，則a=$\sqrt{5}$，離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
則c=2，b²=a²-c²=1，
故橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1$；…4分
由$\frac{p}{2}$=c，解得：c=4，
故拋物線G的方程為y²=8x；…5分
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
由題意，直線l的方程為y=k（x-2）（k≠0），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1}\\{y=k（x-2）}\end{array}\right.$，消去y，整理得（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0，…（6分）
△₁=400k⁴-4（20k²-5）（1+5k²）=20（k²+1）＞0． …（7分）
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₂-x₁|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}（1+{k}^{2}）}{1+5{k}^{2}}$． …（8分）
由 $\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=8x}\\{y=k（x-2）}\end{array}\right.$，消去y，整理得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，…（9分）
△₂=（4k²+8）²-4k²•4k²=64（k²+1）＞0，
則x₃+x₄=$\frac{4{k}^{2}+8}{{k}^{2}}$，
由拋物線定義得|CD|=x₃+x₄+4=$\frac{8（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}}$，…（10分）
∴$\frac{2}{|AB|}$+$\frac{λ}{丨CD丨}$=$\frac{1+5{k}^{2}}{2\sqrt{5}（{k}^{2}+1）}$+$\frac{λ{k}^{2}}{8（{k}^{2}+1）}$=$\frac{（20+\sqrt{5}λ）{k}^{2}+4}{8\sqrt{5}（{k}^{2}+1）}$，…（11分）
要使$\frac{2}{|AB|}$+$\frac{λ}{丨CD丨}$為常數(shù)，則須有20+$\sqrt{5}$λ=4，
解得λ=-$\frac{16\sqrt{5}}{5}$． …（12分）
∴存在λ=-$\frac{16\sqrt{5}}{5}$，使$\frac{2}{|AB|}$+$\frac{λ}{丨CD丨}$為常數(shù)．

點評 本題考查圓錐曲線的綜合應(yīng)用，橢圓與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于中檔題．