Question

14．如圖，圓M和圓N與直線l：y=kx分別相切于A、B，與x軸相切，并且圓心連線與l交于點C，若|OM|=|ON|且$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{CB}$，則實數k的值為（　　）

• A． 1
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 根據切線的性質可得OM⊥ON，利用相似三角形得出兩圓半徑比為2：1，在根據三角形相似即可得出tan∠NOX，根據二倍角公式計算k．

解答 解：過兩圓圓心分別作x軸的垂線，垂足分別為P，Q，
設圓M，圓N的半徑分別為R，r，
∵$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{CB}$，∴AC=2BC．
∵OB是圓M，圓N的垂線，
∴AM⊥OB，BN⊥OB，
∴△MAC∽△NBC，
∴$\frac{AM}{BN}=\frac{AC}{BC}=2$，即R=2r．
∵x軸是兩圓的切線，且OB是兩圓的切線，
∴OM平分∠BOP，ON平分∠BOQ，
∴∠NOQ+∠POM=90°，
∴∠NOQ=∠PMO，又OM=ON，
∴△MPO≌△OQN，
∴OQ=MP=R，
∴tan∠NOQ=$\frac{NQ}{OQ}$=$\frac{r}{R}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠BOQ=tan2∠NOQ=$\frac{1}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{3}$，
∴k=$\frac{4}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查了直線與圓的位置關系，屬于中檔題．