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9.如圖(1),五邊形ABCDE中,ED=EA,AB∥CD,CD=2AB,∠EDC=150°.如圖(2),將△EAD沿AD折到△PAD的位置,得到四棱錐P-ABCD.點M為線段PC的中點,且BM⊥平面PCD.

(1)求證:平面PAD⊥平面ABCD;
(2)若直線PC與AB所成角的正切值為12,求直線BM與平面PDB所成角的正弦值.

分析 (1)取PD的中點N,連接AN,MN,則MNCDMN=12CD,可得四邊形ABMN為平行四邊形,又BM⊥平面PCD,可得AN⊥平面PCD,AN⊥PD,AN⊥CD.可得△PAD為等邊三角形,∠PDA=60°,又∠EDC=150°,可得CD⊥AD,再利用線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理即可證明.
(2)AB∥CD,可得∠PCD為直線PC與AB所成的角,可得tanPCD=PDCD=12,CD=2PD,設(shè)PD=1,則CD=2,PA=AD=AB=1,取AD的中點O,連接PO,過O作AB的平行線,可建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz,設(shè)n=(x,y,z)為平面PBD的法向量,則{nDB=0nPB=0,利用cosnBM=nBM|n||BM|,即可得出.

解答 (1)證明:取PD的中點N,連接AN,MN,則MNCDMN=12CD,
ABCDAB=12CD,所以MN∥AB,MN=AB,
則四邊形ABMN為平行四邊形,所以AN∥BM,
又BM⊥平面PCD,
∴AN⊥平面PCD,
∴AN⊥PD,AN⊥CD.
由ED=EA即PD=PA,及N為PD的中點,∴PA=AD,
可得△PAD為等邊三角形,
∴∠PDA=60°,
又∠EDC=150°,∴∠CDA=90°,∴CD⊥AD,
∴CD⊥平面PAD,CD?平面ABCD,
∴平面PAD⊥平面ABCD.
(2)解:AB∥CD,∴∠PCD為直線PC與AB所成的角,
由(1)可得∠PDC=90°,∴tanPCD=PDCD=12,∴CD=2PD,
設(shè)PD=1,則CD=2,PA=AD=AB=1,
取AD的中點O,連接PO,過O作AB的平行線,
可建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz,
D1200B1210C1220P0032,
M14134,
所以DB=110PB=12132BM=34034,
設(shè)n=(x,y,z)為平面PBD的法向量,則{nDB=0nPB=0,即{x+y=012x+y32z=0
取x=3,則n=333為平面PBD的一個法向量,
cosnBM=nBM|n||BM|=321×32=-277,
則直線BM與平面PDB所成角的正弦值為277

點評 本題考查了空間位置關(guān)系、法向量的應(yīng)用、空間角、等邊三角形的判定與性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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