Question

9．如圖（1），五邊形ABCDE中，ED=EA，AB∥CD，CD=2AB，∠EDC=150°．如圖（2），將△EAD沿AD折到△PAD的位置，得到四棱錐P-ABCD．點M為線段PC的中點，且BM⊥平面PCD．

（1）求證：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）若直線PC與AB所成角的正切值為$\frac{1}{2}$，求直線BM與平面PDB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取PD的中點N，連接AN，MN，則$MN∥CD，MN=\frac{1}{2}CD$，可得四邊形ABMN為平行四邊形，又BM⊥平面PCD，可得AN⊥平面PCD，AN⊥PD，AN⊥CD．可得△PAD為等邊三角形，∠PDA=60°，又∠EDC=150°，可得CD⊥AD，再利用線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理即可證明．
（2）AB∥CD，可得∠PCD為直線PC與AB所成的角，可得$tan∠PCD=\frac{PD}{CD}=\frac{1}{2}$，CD=2PD，設(shè)PD=1，則CD=2，PA=AD=AB=1，取AD的中點O，連接PO，過O作AB的平行線，可建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面PBD的法向量，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\end{array}\right.$，利用$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BM}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BM}|}$，即可得出．

解答 （1）證明：取PD的中點N，連接AN，MN，則$MN∥CD，MN=\frac{1}{2}CD$，
又$AB∥CD，AB=\frac{1}{2}CD$，所以MN∥AB，MN=AB，
則四邊形ABMN為平行四邊形，所以AN∥BM，
又BM⊥平面PCD，
∴AN⊥平面PCD，
∴AN⊥PD，AN⊥CD．
由ED=EA即PD=PA，及N為PD的中點，∴PA=AD，
可得△PAD為等邊三角形，
∴∠PDA=60°，
又∠EDC=150°，∴∠CDA=90°，∴CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，CD?平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD．
（2）解：AB∥CD，∴∠PCD為直線PC與AB所成的角，
由（1）可得∠PDC=90°，∴$tan∠PCD=\frac{PD}{CD}=\frac{1}{2}$，∴CD=2PD，
設(shè)PD=1，則CD=2，PA=AD=AB=1，
取AD的中點O，連接PO，過O作AB的平行線，
可建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，
則$D（{-\frac{1}{2}，0，0}），B（{\frac{1}{2}，1，0}），C（{-\frac{1}{2}，2，0}），P（{0，0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，
∴$M（{-\frac{1}{4}，1，\frac{{\sqrt{3}}}{4}}）$，
所以$\overrightarrow{DB}=（{1，1，0}），\overrightarrow{PB}=（{\frac{1}{2}，1，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}），\overrightarrow{BM}=（{-\frac{3}{4}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{4}}）$，
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面PBD的法向量，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{\frac{1}{2}x+y-\frac{{\sqrt{3}}}{2}z=0}\end{array}}\right.$，
取x=3，則$\overrightarrow{n}$=$（3，3，-\sqrt{3}）$為平面PBD的一個法向量，
∵$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BM}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BM}|}$=$\frac{-3}{\sqrt{21}×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
則直線BM與平面PDB所成角的正弦值為$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．

點評 本題考查了空間位置關(guān)系、法向量的應(yīng)用、空間角、等邊三角形的判定與性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．