Question

15．在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四邊形ABCD為平行四邊形，AA₁⊥平面ABCD，∠BAD=60°，AB=2，BC=1．AA₁=$\sqrt{6}$，E為A₁B₁的中點(diǎn)．
（1）求證：平面A₁BD⊥平面A₁AD；
（2）求多面體A₁E-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）求出BD，再利用勾股定理的逆定理證明BD⊥AD，結(jié)合BD⊥AA₁即可得出BD⊥平面A₁AD，從而平面A₁BD⊥平面A₁AD；
（2）將多面體分解成三棱錐C-A₁BE和四棱錐A₁-ABCD，分別計(jì)算兩個棱錐的體積即可得出多面體的體積．

解答 證明：（1）∵AB=2，AD=BC=1，∠BAD=60°，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}-2AB•AD•cos60°}$=$\sqrt{3}$，
∴BD²+AD²=AB²，∴AB⊥AD，
∵AA₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥AA₁，又AA₁∩AD=A，AA₁?平面A₁AD，AD?平面A₁AD，
∴BD⊥平面A₁AD，又BD?平面A₁BD，
∴平面A₁BD⊥平面A₁AD．
解：（2）連接A₁C，S_{四邊形ABCD}=2S_△ABD=2×$\frac{1}{2}×AD×BD$=$\sqrt{3}$，
∴V${\;}_{{A}_{1}-ABCD}$=$\frac{1}{3}{S}_{四邊形ABCD}•A{A}_{1}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{6}$=$\sqrt{2}$，
設(shè)C到AB的距離為h，則h=$\frac{{S}_{四邊形ABCD}}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則C到平面ABB₁A₁的距離為h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴V${\;}_{C-{A}_{1}BE}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}BE}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{6}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴多面體A₁E-ABCD的體積V=V${\;}_{{A}_{1}-ABCD}$+V${\;}_{C-{A}_{1}BE}$=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了面面垂直的判定定理，棱錐的體積計(jì)算，尋找垂直關(guān)系是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．