Question

12．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=2a_n-3．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{na_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由S_n=2a_n-3，得a₁=3，S_n-1=2a_n-1-3（n≥2），相減可得a_n=2a_n-1（n≥2，n∈N），再利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（Ⅱ）利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由S_n=2a_n-3，①得a₁=3，S_n-1=2a_n-1-3（n≥2），②
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1（n≥2，n∈N），
所以數(shù)列{a_n}是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以${a_n}=3•{2^{n-1}}$（n∈N*）．
（Ⅱ）${T_n}=3（1•{2^0}+2•{2^1}+3•{2^2}+…+n•{2^{n-1}}）$，
$2{T_n}=3（1•{2^1}+2•{2^2}+3•{2^3}+…+n•{2^n}）$，
作差得$-{T_n}=3（1•{2^0}+1•{2^1}+1•{2^2}+…+1•{2^{n-1}}-n•{2^n}）$，
∴${T_n}=3（n-1）{2^n}+3$（n∈N*）．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式及其求和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．