Question

17．已知函數(shù)f（x）=xlnx（e為無理數(shù)，e≈2.718）
（1）求函數(shù)f（x）在點（e，f（e））處的切線方程；
（2）設實數(shù)$a＞\frac{1}{2e}$，求函數(shù)f（x）在[a，2a]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f（e），f′（e）的值，從而求出切線方程即可；
（2）求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，得到函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（1）∵f（x）定義域為（0，+∞），f'（x）=lnx+1，
f（e）=e又f'（e）=2，
∴函數(shù)y=f（x）在點（e，f（e））處的切線方程為：
y=2（x-e）+e，即y=2x-e------（4分）
（2）∵f'（x）=lnx+1，令f'（x）=0，$得x=\frac{1}{e}$，
$當x∈（{0，\frac{1}{e}}）$時，F(xiàn)'（x）＜0，f（x）單調遞減；
當$x∈（{\frac{1}{e}，+∞}）$時，F(xiàn)'（x）＞0，f（x）單調遞增．
當$a≥\frac{1}{e}時，f（x）在[a，2a]單調遞增，{[f（x）]_{min}}=f（a）=alna$，
$當\frac{1}{2e}＜a＜\frac{1}{e}時，得a＜\frac{1}{e}＜2a，{[f（x）]_{min}}=f（{\frac{1}{e}}）=-\frac{1}{e}$…..（12分）

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調性、最值問題，是一道中檔題．