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已知數列{an}的各項均為正數，數列{bn}，{cn}滿足bn=
an+2
an
，cn=anan+12．
（1）若數列{an}為等比數列，求證：數列{cn}為等比數列；
（2）若數列{cn}為等比數列，且bn+1≥bn，求證：數列{an}為等比數列．
考點：等比關系的確定,等差關系的確定
專題：等差數列與等比數列
分析：（1）由數列{an}為等比數列可得
an+1
an
=q，結合cn=anan+12可得：
cn+1
cn
=
an+1•
a
2
n+2
an
•a
2
n+1
=q3為常數，即數列{cn}為等比數列；
（2）由數列{cn}是等比數列可得
cn+1
cn
=q，即
cn+1
cn
=
an+1•
a
2
n+2
an
•a
2
n+1
=
a
2
n+2
an
•a
 
n+1
=q，結合bn=
an+2
an
可得bn+22=bn+1•bn由bn+1≥bn，可得：bn+2=bn+1=bn，即
an+3
an+1
=
an+2
an
，即an+3=an+1•
an+2
an
，進而an+12=an•an+2，即數列{an}為等比數列．
解答： 證明：（1）因為數列{an}為等比數列，所以
an+1
an
=q（q為常數），
又因為cn=anan+12．
所以
cn+1
cn
=
an+1•
a
2
n+2
an
•a
2
n+1
=q3為常數，所以數列{cn}為等比數列；
（2）因為數列{cn}是等比數列，所以
cn+1
cn
=q（q為常數），
所以
cn+1
cn
=
an+1•
a
2
n+2
an
•a
2
n+1
=
a
2
n+2
an
•a
 
n+1
=q（q為常數），
則
a
2
n+2
an
•a
 
n+1
=
a
2
n+4
an+2
•a
 
n+3
，
所以
a
2
n+4
a
2
n+2
=
an+2•an+3
an
•a
 
n+1
，
∵bn=
an+2
an
，
故bn+22=bn+1•bn．
因為bn+1≥bn，所以bn+2≥bn+1，則bn+22≥bn+12≥bn+1•bn．
所以bn+2=bn+1=bn．
∴
an+3
an+1
=
an+2
an
，即an+3=an+1•
an+2
an
．
因為數列{cn}是等比數列，所以
cn+1
cn
=
cn+2
cn+1
，即
a
2
n+2
an
•a
 
n+1
=
a
2
n+3
an+1
•a
 
n+2
，
把an+3=an+1•
an+2
an
代入化簡得an+12=an•an+2，
所以數列{an}為等比數列．
點評：本題考查的知識點是等比數列關系的確定，轉化比較困難，運算量比較大，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖所示，已知A1B1C1-ABC是三棱柱，E、E1分別是AC、A1C1的中點．求證：平面AB1E1∥平面BEC1．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，A1，A2，…，Am-1（m≥2）為區(qū)間[0，1]上的m等分點，直線x=0，x=1，y=0和曲線y=ex所圍成的區(qū)域為Ω1，圖中m個矩形構成的陰影區(qū)域為Ω2，在Ω1中任取一點，則該點取自Ω2的概率等于
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

下列有關函數f（x）=x+
4
x
的結論：
（1）f（x）的圖象關于原點對稱；
（2）f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數；
（3）f（x）在區(qū)間[1，+∞）的最小值為5；
（4）f（x）的值域為（-∞，-4]∪[4，+∞）
其中正確的有
 
 （填入所有正確結論的序號）

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科目：高中數學 來源： 題型：

在半徑為2的圓內有一個邊長為1的正方形，若向圓內隨機投一點，則該點落在正方形內的概率為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知實數a，b，c滿足a+b+c=1，a2+b2+c2=1，則a+b的取值范圍是（　　）
A、[-1，1]
B、[-
1
3
，0]
C、[0，
4
3
]
D、[0，2]

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科目：高中數學 來源： 題型：

一組數據中每個數據都減去50構成一組新數據，則這組新數據的平均數是1.2，方差是4.4，則原來一組數的方差為（　　）
A、3.2B、4.4
C、4.8D、5.6

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=Asin（ωx+φ的圖象如圖所示，則該函數的解析式可能是（　�。�
A、y=
4
5
sin（
4
5
x+
1
5
）
B、y=
3
2
sin（2x+
1
5
）
C、y=
4
5
sin（
4
5
x-
1
5
）
D、y=
4
5
sin（2x-
1
5
）

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科目：高中數學 來源： 題型：

齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬．現雙方各出上、中、下等馬各一匹分組分別進行一場比賽，勝兩場及以上者獲勝．若雙方均不知道對方馬的出場順序，則田忌獲勝的概率為
 
．

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