Question

19．已知直線l：（k-1）x-2y+5-3k=0（k∈R）恒過定點(diǎn)P，圓C經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）和點(diǎn)P，且圓心在直線x-2y+1=0上．
（1）求定點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求圓C的方程；
（3）已知點(diǎn)P為圓C直徑的一個(gè)端點(diǎn)，若另一個(gè)端點(diǎn)為點(diǎn)Q，問：在y軸上是否存在一點(diǎn)M（0，m），使得△PMQ為直角三角形，若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）左右直線l的方程：k（x-3）-（x+2y-5）=0，令$\left\{\begin{array}{l}x-3=0\\ x+2y-5=0\end{array}\right.$，即可求得定點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）設(shè)圓的方程，由題意列方程組，即可求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（3）由（2）可知：求得直線CP的斜率，根據(jù)對稱性求得Q點(diǎn)坐標(biāo)，由M在圓外，所以點(diǎn)M不能作為直角三角形的頂點(diǎn)，分類討論，即可求得m的值．

解答 解：（1）由（k-1）x-2y+5-3k=0得，k（x-3）-（x+2y-5）=0，
令$\left\{\begin{array}{l}x-3=0\\ x+2y-5=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=1\end{array}\right.$，即定點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1）．
（2）設(shè)圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
由條件得$\left\{\begin{array}{l}16+4D+F=0\\ 9+1+3D+E+F=0\\（{-\frac{D}{2}}）-2（{-\frac{E}{2}}）+1=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}D=-14\\ E=-8\\ F=40\end{array}\right.$．
所以圓C的方程為x²+y²-14x-8y+40=0，
圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-7）²+（y-4）²=25．
（3）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-7）²+（y-4）²=25，則${k_{CP}}=\frac{4-1}{7-3}=\frac{3}{4}$，
設(shè)點(diǎn)P（3，1）關(guān)于圓心（7，4）的對稱點(diǎn)為（x₀，y₀），則有$\left\{\begin{array}{l}3+{x_0}=14\\ 1+{y_0}=8\end{array}\right.$，
解得x₀=11，y₀=7，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（11，7）．
因?yàn)镸在圓外，所以點(diǎn)M不能作為直角三角形的頂點(diǎn)，
若點(diǎn)P為直角三角形的頂點(diǎn)，則有$\frac{m-1}{0-3}•\frac{3}{4}=-1$，m=5，
若點(diǎn)Q是直角三角形的頂點(diǎn)，則有$\frac{m-7}{0-11}•\frac{3}{4}=-1$，$m=\frac{65}{3}$，
綜上，m=5或$\frac{65}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分類討論思想，屬于中檔題．