Question

1．已知橢圓E的中心為原點O，焦點在x軸上，E上的點與E的兩個焦點構(gòu)成的三角形面積的最大值為12，直線4x+5y+12=0交橢圓于E于M，N兩點．設(shè)P為線段MN的中點，若直線OP的斜率等于$\frac{4}{5}$，則橢圓E的方程為$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$．

Answer 1

分析 由當點位于短軸的端點時，三角形的面積最大，及bc=12，①由直線的斜率公式，將M和N代入橢圓方程，即可求得$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{16}{25}$，②，a²=b²-c²，③，聯(lián)立即可求得a和b的值，求得橢圓方程．

解答 解：設(shè)橢圓的方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
則當M為于橢圓的上下頂點時，則焦點三角形面積最大，
則S=$\frac{1}{2}$×2c×b=12，即bc=12，①
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線MN的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{4}{5}$，由直線OP的斜率k=$\frac{{y}_{P}}{{x}_{P}}$=$\frac{4}{5}$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}=1}\\{\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，兩式相減得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{^{2}}$=0，
整理得：$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$×$\frac{{x}_{P}}{{y}_{P}}$，
-$\frac{4}{5}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$×$\frac{5}{4}$，整理得：$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{16}{25}$，②
a²=b²-c²，③，
由①②③解得：a=5，b=4，c=3，
故答案為：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．