Question

10．已知數(shù)列{a_n}與{b_n}滿足${a_{n+1}}+2{b_n}=2{b_{n+1}}+{a_n}（{n∈{N^*}}）$，若${a_1}=9，{b_n}={3^n}$（n∈N^*）且$λ{(lán)a_n}＞{3^n}+36（{n-3}）+3λ$對(duì)一切n∈N^*恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（$\frac{13}{18}$，+∞）．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)條件式得a_n+1-a_n=4•3ⁿ，使用累加法求出a_n的通項(xiàng)公式，代入條件式得出λ＞$\frac{1}{2}$+$\frac{18（n-3）}{{3}^{n}}$．利用數(shù)列的單調(diào)性得出右側(cè)數(shù)列的最大值即可得出λ的范圍．

解答 解：∵b_n=3ⁿ，∴b_n+1=3ⁿ⁺¹，代入${a_{n+1}}+2{b_n}=2{b_{n+1}}+{a_n}（{n∈{N^*}}）$，化簡(jiǎn)得a_n+1-a_n=2（b_n+1-b_n）=4•3ⁿ，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=4（3^n-1+3^n-2+…+3）+9=2•3ⁿ+3．
故$λ{(lán)a_n}＞{3^n}+36（{n-3}）+3λ$可化為λ＞$\frac{1}{2}$+$\frac{18（n-3）}{{3}^{n}}$．
令c_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{18（n-3）}{{3}^{n}}$，則c_n-c_n-1=$\frac{18（n-3）}{{3}^{n}}$-$\frac{18（n-4）}{{3}^{n-1}}$=$\frac{18（9-2n）}{{3}^{n}}$，
∴當(dāng)n≥5，{c_n}單調(diào)遞減，當(dāng)1＜n≤4時(shí)，{c_n}單調(diào)遞增，
∴當(dāng)n=4時(shí)c_n取得最大值c₄=$\frac{1}{2}+$$\frac{2}{9}$=$\frac{13}{18}$，
∴λ＞$\frac{13}{18}$．
故答案為（$\frac{13}{18}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推公式，數(shù)列通項(xiàng)的求法，數(shù)列最值的計(jì)算，屬于中檔題．